对于积分球，辐射度推导考虑了入射到积分球内的光、积分球壁反射率、积分球表面积、光进行的多次表面反射以及通过开口端口的损失。进入积分球体的光通过初始反射几乎全漫射。离开表面的一小部分光到达另一个表面区域并被漫反射，依此类推。这种辐射度交换一次又一次地发生，直到它在空间上整合。入射到整个积分球体表面的总通量的n次反射的交换可以用幂级数来建模，并简化为一个简单的辐射方程:

式中Φ为入射到积分球内的光，As为积分球壁面积，p为积分球壁反射率，f为开口端口面积占比。简化的辐射度方程可用于模拟光和LED测量应用的光学效率。这些应用包括用于激光表征的光学衰减，进入光纤或安装在积分球体上的探测器表面的通量，用于图像传感器的光谱辐射度和用于非成像光学传感传感器的光谱辐照度，或积分球体应用所需的其他许多辐射和光度参数。

球体倍增因子

辐射度方程分为两部分。第一部分近似等于漫射表面的辐射度。第二部分是一个无量纲的量，可以被称为球体倍增因子

球体倍增因子考虑了多次反射引起的辐射增加。图1说明了球体倍增因子的幅度及其对开口端系数和球体表面反射率的相关关系。

图1 球体倍增因子的幅度及其对开口端系数f和球体表面反射率的相关关系。

预测积分球内部光通量密度的一种简化直观的方法可能是简单地将入射光通量除以积分球的总表面积。然而，球体倍增因子的效果是，积分球体的辐射度至少比这种简单直观的方法大一个数量级。一个方便的经验法则是，对于大多数真实积分球(0.94 < p < 0.99;0.02 < f < 0.05)，球体倍增因子在10 ~ 30之间。

空间集成

对实际积分球内部辐射度分布的精确分析取决于入射光通量的分布、实际积分球设计的几何细节和积分球涂层的反射率分布函数，以及安装在开口端口或积分球内部的每个设备的表面。最佳空间性能的设计准则是基于最大限度地提高涂层反射率和相对于所需的开口端口和系统设备的积分球直径。反射率和开口端口比例对空间积分的影响可以通过考虑达到入射到积分球表面的总通量所需的反射次数来说明。经过n次反射后产生的辐射度可以与稳态条件下相比较。

由于积分球常用于稳态条件下，随着积分球涂层反射率的增加和开口端口面积比例的减小，产生稳态辐射度的反射次数越多。因此，积分球设计应尝试优化这两个参数，以获得最佳的辐射通量空间积分。图2是一个机器人成像系统的图像，用于通过积分球参考端口映射空间均匀性。

涂层

在为积分球选择涂层时，必须考虑两个因素:反射率和耐久性。例如，如果有足够的光线，并且积分球将在可能导致积分球收集污垢或灰尘的环境中使用，则耐久性和可清洗的涂层是您的理想选择。

积分球内部装置，包括挡板、灯具和灯座，会吸收辐射源的部分能量，降低球体的空间均匀性。通过在所有可能的表面上使用高反射漫反射涂层，可以改善空间均匀性的降低。

球体倍增因子对表面反射率极为敏感。选择漫反射涂层或材料会对给定设计的辐射度产生很大影响（如图3所示）。所示的两种涂层都具有高反射率，在350至1350 nm范围内的反射率超过95%。因此，对于相同的积分球，人们可能预期不会有显著的辐射度增加。然而，辐射度的相对增加大于反射率的相对增加，其系数等于球体倍增因子。虽然其中一种涂层在一定波长范围内比另一种提供2%到15%的反射率增加，但相同的积分球设计将导致辐射度增加40%至240%。最大的增加发生在1400纳米以上的近红外光谱区域。

图2 积分球光谱均匀映射

挡板

一般来说，进入积分球的光不应直接照射探测器元件或探测器直接收集反射到球壁区域的光。为了达到这一目的，在积分球设计中经常使用挡板。然而，由于该装置不是一个完l美的积分球，挡板会导致测试结果不准确。入射到挡板上的光不能均匀地照亮积分球的其余部分。建议在球体设计中尽量减少挡板的数量。

图3 两种高反射率漫反射涂层的典型光谱反射率。

应用

任何应用的积分球的设计都涉及一些基本参数。这些包括基于积分球端口开口和外围设备的数量和尺寸选择最佳积分球直径。在选择积分球内部涂层的过程中，应考虑光谱范围和性能要求。还应考虑使用挡板来控制入射辐射度和探测器视场，以及使用辐射度测量模型来确定积分球与探测系统的耦合效率。

图4a Labsphere为NIST建造的灯具测量积分球。

灯具和LED光谱通量测量

积分球的应用是测量灯具的总光通量。这项技术起源于20世纪初，作为对比不同类型灯具输出光通量*简单快速的方法。今天，积分球光谱分析仪常用于测量LED、通用照明、工程照明、便携式灯具产品等的电学和光学性能。这些应用积分球直径可以小至5厘米，大至3米或更大（例如图4）。采用积分球可以更有效地测量任何尺寸或形状的传统和固态光源的总光谱通量和颜色。积分球配合光谱仪，可测试重要的光谱参数例如光谱通量、色度、相关色温、CRI、TM-30、峰值波长和主波长等等（图4b）。

图4b 光测量系统软件

激光功率测量

积分球很容易捕获或者集成近准直光源例如激光光束或者高度分散的光源（例如激光二极管或VCSEL）。由于积分球的几何结构，激光束功率测量不受激光束偏振及校准的影响。在不影响探测器信号的情况下，该系统可使用开放端口，或可安装激光二极管模块或缩孔器的光纤适配器。(图5)。可以添加额外的端口来执行并行光谱表征，使其成为可靠的激光二极管寿命测试的理想设备。

图5.脉冲激光功率测量系统和软件

成像和非成像校准用均匀光源

积分球可以创造均匀光源。辐射度是离开光源或辐射面的每个立体角的通量密度。辐照度是落在表面上的通量密度，在表面的平面上测量。积分球光源的输出孔径在设计正确的情况下，可以产生多光谱漫射光源和朗伯特性光源，与视角无关(图6)。

图6 一个均匀的辐射光源

反射率和透射率

积分球的最大用途是测量漫射或散射材料的反射率和透射率。该测量方法简单，可定量表征材料（如薄膜，建筑玻璃，混浊液体）。在反射率测量中，样品和参考材料安装在样品端口的外部。积分球用于收集和集成总反射辐射度，为挡板探测器提供信号。在透射率测量中，安装在积分球壁上的样品由球体外的光源照射。然后，样品接收到的辐射度被部分反射、部分透射和部分吸收。积分球收集并集成透射组件，向挡板探测器提供信号。

积分球的基本性能很容易理解，并构成了其多功能性的基础。简单地说，积分球作为光收集器，收集的光可成为照明的光源，或者被采样用于光测量。作为辐射计或光度计的一部分，积分球可以直接测量来自灯、led或激光的辐射通量密度。

积分球性能不断完善，其性能与组件和设计规格质量息息相关。

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